علماء الرياضيات يعثرون على بنية مخفية في نوع شائع من الفضاء

في الخريف في عام 2017 ، التحق مهتاب ساوهني ، الذي كان طالبًا جامعيًا في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، بمجموعة قراءة للخريجين انطلقت لدراسة ورقة واحدة على مدار فصل دراسي. ولكن بحلول نهاية الفصل الدراسي ، تتذكر ساوني ، أنهم قرروا المضي قدمًا ، وهم في حيرة من تعقيد الدليل. قال: “لقد كان رائعًا حقًا”. “بدا الأمر وكأنه موجود تمامًا.”

أعد الورقة بيتر كيفاش من جامعة أكسفورد. موضوعه: كائنات رياضية تسمى التصاميم.

يمكن إرجاع دراسة التصاميم إلى عام 1850 ، عندما طرح توماس كيركمان ، نائب أحد الأبرشيات في شمال إنجلترا الذي انخرط في الرياضيات ، مشكلة واضحة على ما يبدو في مجلة تسمى يوميات سيدة وجنتلمان. لنفترض أن 15 فتاة يذهبن إلى المدرسة في صفوف من ثلاثة كل يوم لمدة أسبوع. هل يمكنك ترتيبها بحيث لا تجد فتاتان نفسيهما في نفس الصف أكثر من مرة على مدار تلك الأيام السبعة؟

سرعان ما كان علماء الرياضيات يسألون نسخة أكثر عمومية من سؤال كيركمان: إذا كان لديك ن عناصر في مجموعة (15 تلميذات لدينا) ، يمكنك دائمًا تصنيفها إلى مجموعات من الحجم ك (صفوف من ثلاثة) بحيث كل مجموعة أصغر من الحجم ر (كل زوج من الفتيات) يظهر في واحدة بالضبط من تلك المجموعات؟

هذه التكوينات ، والمعروفة باسم (نو كو ر) منذ ذلك الحين للمساعدة في تطوير رموز تصحيح الأخطاء وتجارب التصميم وبرامج الاختبار والفوز بالأقواس الرياضية واليانصيب.

لكن من الصعب جدًا أيضًا إنشاء مثل ك و ر تنمو أكبر. في الواقع ، لم يجد علماء الرياضيات بعد تصميمًا ذا قيمة ر أكبر من 5. ولذا كانت مفاجأة كبيرة عندما أظهر كيفاش ، في عام 2014 ، أنه حتى إذا كنت لا تعرف كيفية إنشاء مثل هذه التصميمات ، فهي موجودة دائمًا ، طالما ن كبير بما يكفي ويستوفي بعض الشروط البسيطة.

الآن كيفاش ، ساوهني وآشوين ساه ، طالب دراسات عليا في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، أظهروا أن المزيد من الكائنات المراوغة ، والتي تسمى تصاميم الفضاء الجزئي ، موجودة دائمًا أيضًا. قال ديفيد كونلون ، عالم الرياضيات في معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا: “لقد أثبتوا وجود أشياء ليس وجودها واضحًا على الإطلاق”.

للقيام بذلك ، كان عليهم تجديد نهج كيفاش الأصلي – والذي تضمن مزيجًا سحريًا تقريبًا من العشوائية والبناء الدقيق – لجعله يعمل في بيئة أكثر تقييدًا. وهكذا وجد ساوهني ، الذي يسعى الآن للحصول على درجة الدكتوراه في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، نفسه وجهاً لوجه مع الورقة التي حيرته قبل بضع سنوات فقط. قال: “لقد كان حقًا ممتعًا حقًا أن نفهم تمامًا التقنيات وأن نعانيها حقًا ونعمل عليها ونطورها”.

“ما وراء ما هو أبعد من خيالنا”

لعقود من الزمان ، ترجم علماء الرياضيات المشاكل المتعلقة بالمجموعات والمجموعات الفرعية – مثل سؤال التصميم – إلى مشاكل حول ما يسمى بالمساحات المتجهة والفراغات الجزئية.

فضاء المتجه هو نوع خاص من المجموعات التي ترتبط عناصرها – المتجهات – ببعضها البعض بطريقة أكثر صرامة بكثير مما يمكن أن تكون عليه مجموعة بسيطة من النقاط. نقطة تخبرك أين أنت. يخبرك المتجه إلى أي مدى تحركت وفي أي اتجاه. يمكن إضافتها وطرحها أو تكبيرها أو تصغيرها.