الدليل الرياضي “الضخم” يحل مشكلة الفقاعات الثلاثية

ثم في الخريف الماضي ، جاء ميلمان للتفرغ وقرر زيارة نيمان حتى يتمكن الزوجان من التركيز على مشكلة الفقاعة. قال ميلمان: “خلال فترة الإجازة ، يكون الوقت مناسبًا لتجربة أشياء عالية المخاطر ومكاسب عالية”.

في الأشهر القليلة الأولى ، لم يصلوا إلى أي مكان. أخيرًا ، قرروا أن يمنحوا أنفسهم مهمة أسهل قليلاً من تخمين سوليفان الكامل. إذا أعطيت فقاعاتك بُعدًا إضافيًا من غرفة التنفس ، فستحصل على مكافأة: أفضل كتلة فقاعية سيكون لها تناسق معكوس عبر مستوى مركزي.

تخمين سوليفان يدور حول الفقاعات الثلاثية في الأبعاد اثنين وما فوق ، والفقاعات الرباعية في الأبعاد الثلاثة وما فوق ، وهكذا. للحصول على تناسق المكافأة ، قصر ميلمان ونيمان انتباههما على الفقاعات الثلاثية في الأبعاد الثلاثة وما فوق ، والفقاعات الرباعية في الأبعاد الأربعة وما فوق ، وهكذا. قال نيمان: “لقد كان حقًا فقط عندما تخلينا عن الحصول عليها لمجموعة كاملة من المعايير التي أحرزناها حقًا”.

مع تناظر المرآة هذا تحت تصرفهم ، توصل ميلمان ونيمان إلى حجة اضطراب تتضمن تضخيمًا طفيفًا نصف كتلة الفقاعة التي تقع فوق المرآة وتفريغ النصف الموجود أسفلها. لن يغير هذا الاضطراب حجم الفقاعات ، لكنه قد يغير مساحة سطحها. أظهر ميلمان ونيمان أنه إذا كانت الكتلة الفقاعية المثالية تحتوي على أي جدران غير كروية أو مسطحة ، فستكون هناك طريقة لاختيار هذا الاضطراب بحيث يقلل من مساحة سطح العنقود – وهو تناقض ، نظرًا لأن الكتلة المثلى لها بالفعل السطح الأقل ممكن المنطقة.

قال نيمان إن استخدام الاضطرابات لدراسة الفقاعات ليس فكرة جديدة ، لكن اكتشاف الاضطرابات التي ستكتشف السمات المهمة لمجموعة الفقاعات هو “نوع من الفن المظلم”.

بعد فوات الأوان ، “بمجرد أن ترى [Milman and Neeman’s perturbations]قال جويل هاس من جامعة كاليفورنيا في ديفيس: “إنها تبدو طبيعية تمامًا”.

قال ماجي إن الاعتراف بالاضطرابات على أنها طبيعية أسهل بكثير من الخروج بها في المقام الأول. قال: “إنه ليس شيئًا يمكنك أن تقوله ،” في النهاية سيعثر عليه الناس “. “إنه حقًا عبقري على مستوى رائع للغاية.”

كان ميلمان ونيمان قادرين على استخدام اضطراباتهما لإظهار أن الكتلة الفقاعية المثالية يجب أن ترضي جميع السمات الأساسية لمجموعات سوليفان ، باستثناء ربما واحدة: شرط أن كل فقاعة يجب أن تلمس بعضها البعض. أجبر هذا المطلب الأخير ميلمان ونيمان على التعامل مع جميع الطرق التي قد تتصل بها الفقاعات في عنقود. عندما يتعلق الأمر بثلاث أو أربع فقاعات فقط ، فليس هناك الكثير من الاحتمالات للنظر فيها. ولكن مع زيادة عدد الفقاعات ، يزداد عدد أنماط الاتصال المختلفة الممكنة ، بشكل أسرع من الأسي.

كان ميلمان ونيمان يأملان في البداية في إيجاد مبدأ شامل يغطي كل هذه الحالات. ولكن بعد قضاء بضعة أشهر في “تحطيم رؤوسنا” ، قال ميلمان ، قرروا أن يكتفوا بأنفسهم في الوقت الحالي بنهج مخصص يسمح لهم بالتعامل مع الفقاعات الثلاثية والرباعية. لقد أعلنوا أيضًا عن دليل غير منشور على أن فقاعة سوليفان الخماسية هي الأمثل ، على الرغم من أنهم لم يثبتوا بعد أنها الكتلة المثالية الوحيدة.

كتب مورجان في رسالة بالبريد الإلكتروني أن عمل ميلمان ونيمان “نهج جديد تمامًا وليس امتدادًا للطرق السابقة”. توقع ماجي أنه من المحتمل أن يتم دفع هذا النهج إلى أبعد من ذلك – ربما إلى مجموعات من أكثر من خمس فقاعات ، أو إلى حالات تخمين سوليفان التي لا تحتوي على تناظر المرآة.

لا أحد يتوقع أن يأتي المزيد من التقدم بسهولة. لكن هذا لم يردع ميلمان ونيمان أبدًا. قال ميلمان: “من تجربتي ، كل الأشياء الرئيسية التي كنت محظوظًا بما يكفي لأتمكن من القيام بها تتطلب فقط عدم الاستسلام.”

القصة الأصلية أعيد طبعها بإذن من مجلة كوانتا منشور تحريري مستقل عن مؤسسة سيمونز تتمثل مهمتها في تعزيز الفهم العام للعلم من خلال تغطية التطورات والاتجاهات البحثية في الرياضيات والعلوم الفيزيائية وعلوم الحياة.